Question

对5副不同的手套进行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只．
（Ⅰ）求下列事件的概率：
A：甲正好取得两只配对手套；
B：乙正好取得两只配对手套；
（Ⅱ）A与B是否独立？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）从10只手套中任取4只有C₁₀⁴种不同的取法，甲先任取一只要从5对中取一对且一对中又有两种不同的取法，余下的乙从8只手套中取两只，有C₈²中取法，根据古典概型公式得到结果．乙正好取得两只配对手套做法同乙完全相同．
（2）要验证两个时间是否独立，只要验证两个概率的乘积是否等于两个事件同时发生的概率，代入第一问解出的结果进行验证．

解答：解：（Ⅰ）设“甲正好取得两只配对手套”为事件A
∵从10只手套中任取4只有C₁₀⁴种不同的取法，
甲先任取一只要从5对中取一对且一对中又有两种不同的取法，
余下的乙从8只手套中取两只，有C₈²中取法，
根据古典概型公式得到
P(A)=

C 1 5 ×2× A 2 8

A 4 10

=

1

9

．
P(B)=

C 1 5 ×2× A 2 8

A 4 10

=

1

9

．
（Ⅱ）∵从10只手套中任取4只有C₁₀⁴种不同的取法，
甲乙两个人都取得成对的手套有C₅²×2×C₂¹×2种不同取法，
∴P(AB)=

C 2 5 ×2× C 1 2 ×2

A 4 10

=

1

63

，
又P（A）=

1

9

，P（B）=

1

9

，
∴P(A)P(B)=

1

81

，
∴P（A）P（B）≠P（AB），故A与B是不独立的．

点评：手套或鞋子成对问题是概率题目中较困难的问题，可拿一个典型题目认真分析，看清题目解答过程，使得以后遇到知道怎么考虑．本题还考查相互独立事件，一般地，如果事件 相互独立，那么事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．