Question

已知函数f（x）=sin（x+

π

6

）+sin（x-

π

6

）+cosx-a，x∈[0，

π

2

]．
（1）若函数f（x）的最大值为1，求实数a的值；
（2）若方程f（x）=1有两解，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和差的正弦公式可得：函数f（x）=2sin(x+

π

6

)-a．由于x∈[0，

π

2

]，可得(x+

π

6

)∈[

π

6

，

2π

3

]，sin(x+

π

6

)∈[

1

2

，1]．可得f（x）_max=2-a=1，解出即可．
（2）方程f（x）=1，化为2sin(x+

π

6

)=a+1，由于x∈[0，

π

2

]，可得(x+

π

6

)∈[

π

6

，

2π

3

]．要使方程f（x）=1有两解，可得2×

3

2

≤a+1＜2，解出即可．

解答： 解：（1）函数f（x）=sin（x+

π

6

）+sin（x-

π

6

）+cosx-a=

3

sinx+cosx-a=2sin(x+

π

6

)-a．
∵x∈[0，

π

2

]，
∴(x+

π

6

)∈[

π

6

，

2π

3

]．
∴sin(x+

π

6

)∈[

1

2

，1]．
∴f（x）_max=2-a=1，
∴a=1．
（2）方程f（x）=1，化为2sin(x+

π

6

)=a+1，
∵x∈[0，

π

2

]，∴(x+

π

6

)∈[

π

6

，

2π

3

]．
要使方程f（x）=1有两解，
则2×

3

2

≤a+1＜2，
解得a∈[

3

-1，1)．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质、两角和差的正弦公式，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．