Question

已知四边形ABCD的4个顶点都在抛物线y=x²上，A、C点关于y轴对称，BD平行于抛物线在点C处的切线．
（1）证明：AC平分∠BAD．
（2）若点A的坐标为（-1，1），S_{四边形ABCD}=4，求直线BD的解析式．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由已知条件设A（x₁，x12），B（x₂，x22），C（x₃，x32），D（x₄，x42），分别推导出k_AD=-x₁-x₂，k_AB=x₂+x₁，由A，C关于y轴对称，得到AD、AB与AC轴的夹角相等，由此能够证明AC平分∠BAD．
（2）由A（-1，1），推导出C（1，1），|AC|=2，设B（x₂，x22），则D（2-x₂，（2-x₂）²），由S_{四边形ABCD}=4，推导出x₂=2，由此能求出直线BD的方程．

解答： （1）证明：∵四边形ABCD的四个顶点都在抛物线y=x²上，
∴设A（x₁，x12），B（x₂，x22），C（x₃，x32），D（x₄，x42），
∵A．C关于y轴对称，
∴x₃=-x₁，∴C（-x₁，x12），
∵y'=2x，∴点C切线斜率k=-2x₁，
∵BD平行于抛物线在点C处的切线，
∴

x22-x42

x2-x4

=-2x₁，∴x₄=-2x₁-x₂，
k_AD=

x42-x12

x4-x1

=x₄+x₁=-2x₁-x₂+x₁=-x₁-x₂，
k_AB=

x22-x12

x2-x1

=x₂+x₁，
∴k_AD=-k_AB，
∴直线AD、AB与x轴的夹角相等，方向相反，
∵A，C关于y轴对称，∴AC∥x轴，∴AD、AB与AC轴的夹角相等，
∴AC平分∠BAD．
（2）如图，∵A（-1，1），∴C（1，1），∴|AC|=2，
设B（x₂，x22），则D（2-x₂，（2-x₂）²），
∵S_{四边形ABCD}=4，
∴

1

2

×2×{（x22-1）+[1-（2-x₂）²}=4，
解得x₂=2，∴B（2，4），D（0，0），
∴直线BD的方程为：

y

x

=

4

2

，
整理，得2x-y=0．

点评：本题考查AC平分∠BAD的证明，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．