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已知双曲线与椭圆有公共焦点,且以抛物线的准线为双曲线的一条准线.动直线过双曲线的右焦点且与双曲线的右支交于两点.

(1)求双曲线的方程;

(2)无论直线绕点怎样转动,在双曲线上是否总存在定点,使恒成立?若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.

解:(1)设,则由题意有:

   ∴

故双曲线的方程为,                         …………… 4分

(2)解法一:由(1)得点

当直线l的斜率存在时,设直线方程

将方程与双曲线方程联立消去得:

    解得                   …………… 6分

 假设双曲线上存在定点,使恒成立,设为

则:

,∴

故得:对任意的恒成立,

,解得

∴当点时,恒成立;                …………… 10分

当直线l的斜率不存在时,由知点使得也成立.

又因为点是双曲线的左顶点,                   

所以双曲线上存在定点,使恒成立.  …………… 12分

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145
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(1)求双曲线的方程;

(2)无论直线绕点怎样转动,在双曲线上是否总存在定点,使恒成立?若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.

 

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(1)求双曲线C的方程;
(2)无论直线l绕点F怎样转动,在双曲线C上是否总存在定点M,使MP⊥MQ恒成立?若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.

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