Question

6．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²+lnx．
（1）求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值及最大值
（2）求证：在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=$\frac{2}{3}$x³的图象的下方．

Answer 1

分析 （1）先求导，由导数研究函数的单调、极值，计算端点函数值，比较极值与端点函数值，进而求出函数的最大值、最小值；
（2）构造函数设F（x）=$\frac{1}{2}$x²+lnx-$\frac{2}{3}$x³，利用导数可知函数F（x）的单调性为递减，从而可得F（x）＜F（1）=0可证．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{1}{2}$x²+lnx有f′（x）=x+$\frac{1}{x}$，
当x∈[1，e]时，f′（x）＞0
∴f（x）_max=f（e）=$\frac{1}{2}$e²+1，
f（x）_min=f（1）=$\frac{1}{2}$，
（2）设F（x）=$\frac{1}{2}$x²+lnx-$\frac{2}{3}$x³，
则F′（x）=x+$\frac{1}{x}$-2x²=$\frac{（1-x）（1+x+{2x}^{2}）}{x}$，
当x∈[1，+∞）时，F′（x）＜0，
且F（1）=-$\frac{1}{6}$＜0故x∈[1，+∞）时F（x）＜0
∴$\frac{1}{2}$x²+lnx＜$\frac{2}{3}$x³，得证．

点评 本题主要考查了导数的应用：求单调区间，求极值、最值，利用单调性证明不等式，解（2）的关键是构造函数，转化为研究函数的单调性．