Question

11．设f（x）=3ax²+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0．
（1）证明：a＞0且$-2＜\frac{b}{a}＜-1$；
（2）试判断函数f（x）在（0，1）内的零点个数，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先由题中条件得到，c＞0，3a+2b+c＞0并结合已知a+b+c=0，可得a＞c＞0，a+b＜0，2a+b＞0，从而得证；
（2）该问注意f（0）＞0，f（1）＞0，显然判断在区间（0，1）内的零点个数不能用零点的存在性定理．结合二次函数的图象考虑，看对称轴位置及顶点纵坐标的正负即可判断．

解答 证明：（1）因为f（0）＞0，f（1）＞0，所以c＞0，3a+2b+c＞0
由条件a+b+c=0消去b，得a＞c＞0，
由条件a+b+c=0消去c，得a+b＜0，2a+b＞0，
故$-2＜\frac{b}{a}＜-1$；
（2）抛物线f（x）=3ax²+2bx+c的顶点坐标为$（-\frac{b}{3a}，\frac{{3ac-{b^2}}}{3a}）$
在$-2＜\frac{b}{a}＜-1$的两边乘以$-\frac{1}{3}$，得$\frac{1}{3}＜-\frac{b}{3a}＜\frac{2}{3}$
又因为f（0）＞0，f（1）＞0，而$f（-\frac{b}{3a}）=-\frac{{{a^2}+{c^2}-ac}}{3a}＜0$
所以函数f（x）在区间$（0，-\frac{b}{3a}）$和$（-\frac{b}{3a}，1）$内分别有一个零点
故函数f（x）在（0，1）上有两个零点．

点评 对于判断函数在某区间（如区间（a，b））内零点个数问题，高中阶段一般是函数在该区间连续，接下来应先看函数在该区间的单调性，如果单调递增（或单调递减）且a，b对应的函数值正负相反，则在该区间有一个零点；如果在该区间不单调，则应结合函数的图象特征做出全面的判断．例如，本题函数在区间（0，1）的两端点函数值同正且二次函数图象开口向上，所以应从对称轴位置入手，若对称轴在直线x=0的左边或直线x=1的右边则无零点；若对称轴在（0，1）之间，则看顶点纵坐标的值，当纵坐标为0，则有一个零点；当纵坐标为正，无零点；当纵坐标为负，则有两个零点．