Question

设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x-1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（　　）

A．12

B．1 6

C．18

D．20

Answer 1

分析：依据函数的周期性，画出函数y=f（x）的图象，再在同一坐标系下画出y=lg|x|的图象（注意此函数为偶函数），数形结合即可数出两图象交点的个数

解答：解：∵f（x+2）=f（x），∴函数y=f（x）的周期是2，
又∵当x∈（0，2）且x≠1时，x（x-1）f′（x）＜0，
∴当0＜x＜1时，x（x-1）＜0，则f′（x）＞0，函数在[0，1]上是增函数
又由当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1，
则f（0）=0，f（1）=1．
而y=lg|x|是偶函数，当x＞0时，其图象为y=lgx的图象，即函数为增函数，
由于x=10时，y=lg10=1，
∴其图象与f（x）的图象在[0，2]上有一个交点，在每个周期上各有两个交点，
∴在y轴右侧共有9个交点．
∵y=lg|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，
∴在y轴左侧也有9个交点
∴两函数图象共有18个交点．
故选：C．

点评：本体考查了函数的周期性，奇偶性及函数图象的画法，重点考查数形结合的思想方法，属基础题．