Question

【题目】如图，等边三角形OAB的边长为8 ，且三个顶点均在抛物线E：y2=2px（p＞0）上，O为坐标原点．

（1）证明：A、B两点关于x轴对称；
（2）求抛物线E的方程．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2），

∵|OA|=|OB|，∴x12+y12=x22+y22．

又∵y12=2px1，y22=2px2，

∴x22﹣x12+2p（x2﹣x1）=0，

即（x2﹣x1）（x1+x2+2p）=0．

又∵x1、x2与p同号，∴x1+x2+2p≠0．

∴x2﹣x1=0，即x1=x2．

由抛物线对称性，知点A、B关于x轴对称．

（2）解：由（1）知∠AOx=30°，则y2=2px，x=6p，

∴y= x，y=2 p．

∴A（6p，2 p），

∵等边三角形OAB的边长为8 ，

∴（6p）2+（2 p）=（8 ）2．

∴p=2，

∴抛物线E的方程为y2=4x

【解析】（1）A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）根据|OA|=|OB|可得x12+y12=x22+y22 ． 由于A，B都在抛物线上进而满足y12=2px1 ， y22=2px2 ， 整理可得（x2﹣x1）（x1+x2+2p）=0．根据x1、x2与p同号可知x1+x2+2p≠0进而可得x1=x2 ． 根据抛物线对称性，知点A、B关于x轴对称．（2）由（1）可知∠AOx=30°，进而根据抛物线和直线方程求得点A的坐标，利用等边三角形OAB的边长为8 ，可得p，即可求抛物线E的方程．