Question

已知点A（-2，0），B（2，0），曲线C上的动点P满足

AP

•

BP

=-3．
（I）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若过定点M（0，-2）的直线l与曲线C有公共点，求直线l的斜率k的取值范围；
（Ⅲ）若动点Q（x，y）在曲线上，求u=

y+2

x-1

的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,点到直线的距离公式

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆

分析：（I）设P（x，y），运用向量的数量积的坐标表示，化简即可得到曲线C的方程；
（Ⅱ）可设直线l：y=kx-2，运用直线和圆有公共点的条件：d≤r，运用点到直线的距离公式，解不等式即可得到取值范围；
（Ⅲ）由动点Q（x，y），设定点N（1，-2），u=

y+2

x-1

的几何意义是直线QN的斜率，再由直线和圆相交的条件d≤r，解不等式即可得到范围．

解答： 解：（I）设P（x，y），

AP

•

BP

=（x+2，y）•（x-2，y）=x²-4+y²=-3，
即有x²+y²=1，P点的轨迹为圆C：x²+y²=1；
（Ⅱ）可设直线l：y=kx-2，即为kx-y-2=0，当直线l与曲线C有交点，得，

|0-0-2|

1+k2

≤1，解得，k≥

3

或k≤-

3

．
即有直线l的斜率k的取值范围是（-∞，-

3

]∪[

3

，+∞）；
（Ⅲ）由动点Q（x，y），设定点N（1，-2），则直线QN的斜率为k=

y+2

x-1

=u，
又Q在曲线C上，故直线QN与圆有交点，
由于直线QN方程为y+2=k（x-1）即为kx-y-k-2=0，
当直线和圆相切时，

|-k-2|

1+k2

=1，解得，k=-

3

4

，
当k不存在时，直线和圆相切，
则k的取值范围是（-∞，-

3

4

]

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示，考查直线和圆的位置关系，考查直线斜率的公式的运用，考查运算能力，属于中档题．