Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．

（Ⅰ）求证：BE∥平面PDF；
（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：取PD中点为M，连ME，MF．…1分

∵E是PC的中点

∴ME是△PCD的中位线，

∴ME平行且等于 ．

∵F是AB中点且ABCD是菱形，

∴AB平行且等于CD，

∴ME平行且等于 ．

∴ME平行且等于FB

∴四边形MEBF是平行四边形．从而 BE∥MF．

∵BE平面PDF，MF平面PDF，

∴BE∥平面PDF．

（Ⅱ）：∵PA⊥平面ABCD，DF平面ABCD，∴DF⊥PA．连接BD，

∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△DAB为正三角形．

∵F是AB的中点，∴DF⊥AB．∵PA∩AB=A，∴DF⊥平面PAB．

建立如图所示的坐标系，则P（0，0，1），C（ ，3，0），D（0，2，0），F（ ， ，0）

易知 =（ ，﹣ ，0）是平面PAB的一个法向量．

设平面PCD的一个法向量为

由 ，

可取 ，

设平面PAB与平面PCD所成锐角为θ，则cosθ= =

故平面PAB与平面PCD所成的锐角为60°．

【解析】（1）取PD中点为M，连ME，MF，根据中位线性质可得ME平行且等于 C D，根据边的大小关系可得出四边形MEBF是平行四边形，从而 BE∥MF，进而得到BE∥平面PDF，（2）建立空间直角坐标系，用法向量，求出二面角的大小.
【考点精析】掌握直线与平面平行的判定是解答本题的根本，需要知道平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．