Question

如图，在四面体 P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=3，AC=4，BC=5，且D，E分别为BC，PC的中点．
（1）求证：PB∥平面ADE．
（2）求证：AC⊥PB．

Answer 1

分析：（1）由D、E分别是棱BC、PC的中点，可得DE∥PB，根据线面平行的判定定理可证
（2）由勾股定理容易证AC⊥AB，由PA⊥平面ABC，可得PA⊥AC，由线面垂直的判定定理可证AC⊥平面PAB，进而可证AC⊥PB

解答：证明（1）：因为D、E分别是棱BC、PC的中点，
DE∥PB． …（4分）
又PB?平面ADE，DE?平面ADE
∴PB∥平面ADE…（5分）
（2）：在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB²+AC²=BC²
∴AC⊥AB…（6分）
又PA⊥平面ABC，AC?平面ABC
∴PA⊥AC．…（7分）
又PA∩AB=A
∴AC⊥平面PAB．…（8分）
而PB?平面PAB
∴AC⊥PB…（10分）

点评：本题主要考查了线面平行与线面垂直的判定定理的应用，线线关系与线面关系的相互转化，属于基础试题