Question

（2012•江苏三模）选修4-5：不等式选讲
已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且有a+b+c=1，a²+b²+c²=1．求证：1＜a+b＜

4

3

．

Answer 1

分析：由题意可得a，b是方程x²-（1-c）x+c²-c=0的两个不等实根，由判别式大于0可得-

1

3

＜c＜1．再由（c-a）（c-b）＞0，
解得c＜0，或c＞

2

3

，取交集得到-

1

3

＜c＜0，从而得到1＜a+b＜

4

3

．

解答：证明：因为a+b=1-c，ab=

(a+b)2-(a2+b2)

2

=c²-c，所以a，b是方程x²-（1-c）x+c²-c=0的两个不等实根，
则△=（1-c）²-4（c²-c）＞0，解得-

1

3

＜c＜1．…（4分）
而（c-a）（c-b）=c²-（a+b）c+ab＞0，即c²-（1-c）c+c²-c＞0，解得c＜0，或c＞

2

3

（不和题意，舍去），…（7分）
所以-

1

3

＜c＜0，即1＜a+b＜

4

3

．         …（8分）

点评：本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，式子的变形是解题的关键，属于中档题．