Question

16．已知x₁，x₂是函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+2bx+c（a，b，c∈R）的两个极值，x₁∈（-2，0），x₂∈（0，2），则2a+b的取值范围为（　　）

• A． （-∞，-2）
• B． （-2，4）
• C． （-2，+∞）
• D． （-4，4）

Answer 1

分析 求导函数，利用f（x）的两个极值点分别是x₁，x₂，x₁∈（-2，0），x₂∈（0，2），建立不等式，利用平面区域，即可求2a+b的取值范围．

解答 解：由题意，f′（x）=x²+ax+2b．
∵f（x）的两个极值点分别是x₁，x₂，x₁∈（-2，0），x₂∈（0，2）
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（-2）=4-2a+2b＞0}\\{f′（0）=2b＜0}\\{f′（2）=4+2a+2b＞0}\end{array}\right.$，
对应的平面区域如图所示：
令z=2a+b，则b=-2a+z，
由图象得：直线b=-2a+z过（-2，0）时，z最小，最小值是-4，
在（2，0）处，z=2a+b最大，最大值是4，
∴2a+b的取值范围是（-4，4）．
故选：D．

点评 本题考查导数知识的运用，考查平面区域的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．