【题目】设数列是各项均为正数的等比数列,其前项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设有正整数,使得成等差数列,求的值;
(3)设,对于给定的,求三个数经适当排序后能构成等差数列的充要条件.
【答案】(1);(2);(3)经适当排序后能构成等差数列的充要条件为
【解析】【试题分析】(1)依据题设条件建立方程组,运用等比数列的性质求出求出等比,求得通项公式;(2)依据题设成等差数列,建立方程,得到,也即.由此推知中有且只有一个等于1,借助正整数满足,从而推知,求出.
(3)按照题设要求将条件“经适当排序后能构成等差数列”分为三类进行分析推证:
解:(1)因为数列是各项均为正数的等比数列,所以设数列的公比为,且.
又,且,所以.
又因为,所以,解得,所以.
(2)因为成等差数列,所以,即.
所以, .
故中有且只有一个等于1.
因为正整数满足,所以,得.
(3)设经适当排序后能构成等差数列.
①若,则,当且仅当,当且仅当.
因为正整数满足,当且仅当,且,
所以, .当且仅当,即.
②若,则,所以(*).
因为,
所以与都为偶数,而5是奇数,所以,等式(*)不成立,
从而等式不成立,
③若,则同②可知,该等式也不成立.
综合①②③,得.
设,则为,即.
调整顺序后易知成等差数列.
综上所述, 经适当排序后能构成等差数列的充要条件为.
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【题目】已知:椭圆 (a>b>0),过点 , 的直线倾斜角为 ,原点到该直线的距离为 .
(1)求椭圆的方程;
(2)斜率大于零的直线过 与椭圆交于E,F两点,若 ,求直线EF的方程.
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【题目】已知复数z的实部和虚部都是整数,
(1)若复数z为纯虚数,且|z﹣1|=|﹣1+i|,求复数z;
(2)若复数z满足z+ 是实数,且1<z+ ≤6,求复数z.
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【题目】某城市理论预测2007年到2011年人口总数与年份的关系如表所示
年份2007+x(年) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
人口数y(十万) | 5 | 7 | 8 | 11 | 19 |
(1)请根据表提供的数据,求最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;
(2)据此估计2012年该城市人口总数.
参考公式: .
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【题目】某商场在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系是P= ,该商场的日销售量Q=﹣t+40(0<t≤30,t∈N),求这种商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天.
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【题目】已知6只小白鼠有1只被病毒感染,需要通过对其化验病毒来确定是否感染.下面是两种化验方案:方案甲:逐个化验,直到能确定感染为止.方案乙:将6只分为两组,每组三个,并将它们混合在一起化验,若存在病毒,则表明感染在这三只当中,然后逐个化验,直到确定感染为止;若结果不含病毒,则在另外一组中逐个进行化验.
(1)求依据方案乙所需化验恰好为2次的概率.
(2)首次化验化验费为10元,第二次化验化验费为8元,第三次及其以后每次化验费都是6元,列出方案甲所需化验费用的分布列,并估计用方案甲平均需要体验费多少元?
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