【题目】已知函数f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若x,y∈[﹣1,1],x+y≠0有(x+y)[f(x)+f(y)]>0.
(1)判断f(x)的单调性,并加以证明;
(2)解不等式 ;
(3)若f(x)≤m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立.求实数m的取值范围.
【答案】
(1)解:函数f(x)在[﹣1,1]上单调增,证明如下
由题意,设x1,x2∈[﹣1,1],且x1<x2
则x1﹣x2<0
∵x,y∈[﹣1,1],x+y≠0有(x+y)[f(x)+f(y)]>0.
令x=x1,y=﹣x2,
∴f(x1)+f(﹣x2)<0
∵函数f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数
∴f(x1)﹣f(x2)<0
∴函数f(x)在[﹣1,1]上单调增
(2)解:由(1)知, ,解得:
(3)解:由于函数f(x)在[﹣1,1]上单调增,
∴函数f(x)在[﹣1,1]上的最大值为f(1)=1
∴f(x)≤m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立可转化为:0≤m2﹣2am对所有a∈[﹣1,1]恒成立
∴ ,
解得m≥2或m≤﹣2或m=0
【解析】(1)设x1 , x2∈[﹣1,1],且x1<x2 , 则x1﹣x2<0,利用x,y∈[﹣1,1],x+y≠0有(x+y)[f(x)+f(y)]>0,可得f(x1)+f(﹣x2)<0,根据函数f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,即可得函数f(x)在[﹣1,1]上单调增;(2)由(1)知, ,解之即可;(3)先确定函数f(x)在[﹣1,1]上的最大值为f(1)=1,将f(x)≤m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立转化为:0≤m2﹣2am对所有a∈[﹣1,1]恒成立,从而可求实数m的取值范围.
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【题目】某市居民用水拟实行阶梯水价,每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了10000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如图频率分布直方图:
(1)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少?
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.
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【题目】某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上,高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120人、n人.为了活跃气氛,大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动,并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐,其中高二代表队有6人.
(1)求n的值;
(2)把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a,b,c,d,e,f,现随机从中抽取2人上台抽奖.求a和b至少有一人上台抽奖的概率.
(3)抽奖活动的规则是:代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的均匀随机数x,y,并按如图所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”,则该代表中奖;若电脑显示“谢谢”,则不中奖,求该代表中奖的概率.
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【题目】已知函数f(x)= cosx(sinx+cosx). (Ⅰ)若0<α<
,且sinα=
,求f(α)的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.
(I)求证:M为PB的中点;
(II)求二面角B-PD-A的大小;
(III)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.
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【题目】已知公差d>0的等差数列{an}中,a1=10,且a1 , 2a2+2,5a3成等比数列.
(1)求公差d及通项an;
(2)设Sn= +
+…+
,求证:Sn<
.
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【题目】如图,已知四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是棱长为2的菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E是BC中点,若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角的正切值为 .
(1)当EH与平面PAD所成角的正切值为 时,求证:EH∥平面PAB;
(2)在(1)的条件下,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.
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【题目】在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下:9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为( )
A.9.4,0.484
B.9.4,0.016
C.9.5,0.04
D.9.5,0.016
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