Question

【题目】已知集合{φ|f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π]为奇函数，且|logaφ|＜1}的子集个数为4，则a的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】（ ）∪（ ）
【解析】解：∵集合{φ|f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π]为奇函数，

∴f（0）=sin（﹣2φπ）+cos（﹣2φπ）=cos2φπ﹣sin2φπ=0，

∴cos2φπ=sin2φπ，即tan2φπ=1，∴2φπ=kπ+ ，则φ= + ，k∈Z．

验证φ= + ，k∈Z时，f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π]

=sin[（x﹣k﹣ ）π]+cos[（x﹣k﹣ ）π]=sin（πx﹣ ）+cos（ ）= 为奇函数．

∴φ= + ，k∈Z．

∵集合{φ|f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π]为奇函数，且|logaφ|＜1}的子集个数为4，

∴满足|logaφ|＜1的φ有2个，即满足﹣1＜logaφ＜1的φ有2个．

分别取k=0，1，2，3，得到φ= ， ， ， ，

若0＜a＜1，可得a∈（ ）时，满足﹣1＜logaφ＜1的φ有2个；

若a＞1，可得a∈（ ）时，满足﹣1＜logaφ＜1的φ有2个．

则a的取值范围为（ ）∪（ ）．

所以答案是：（ ）∪（ ）．

【考点精析】通过灵活运用函数奇偶性的性质，掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇即可以解答此题．