Question

若直线ax+y-b=0（ab＞0），始终平分圆x²+y²+2x-4y=0的周长，则

1

a

+

4

b

的最小值为（　　）

• A．

  9

  2

• B．2
• C．

  5

• D．

  5

  2

Answer 1

分析：利用直线ax+y-b=0（ab＞0），始终平分圆x²+y²+2x-4y=0的周长，可得直线ax+y-b=0经过圆x²+y²+2x-4y=0的圆心（-1，2），再利用基本不等式即可求得

1

a

+

4

b

的最小值．

解答：解：∵直线ax+y-b=0（ab＞0），始终平分圆x²+y²+2x-4y=0的周长，
∴直线ax+y-b=0经过圆x²+y²+2x-4y=0的圆心（-1，2），
∴a+b=2，
∴

1

a

+

4

b

=

1

2

（

1

a

+

4

b

）（a+b）=

1

2

[5+

b

a

+

4a

b

]
∵ab＞0，∴

b

a

+

4a

b

≥2

b a × 4a b

=4
当且仅当

b

a

=

4a

b

时，

b

a

+

4a

b

的最小值为4
∴

1

a

+

4

b

的最小值是

9

2

故选A．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．