Question

已知直线（k+1）x-y-3-3k=0（k∈R）所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（7分）
（Ⅱ）已知圆O：x²+y²=1，直线l：mx+ny=1．试证明当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交；并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围．（8分）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由直线（k+1）x-y-3-3k=0（k∈R）过定点，可得x-y-3+k（x-3）=0，即

x-y-3=0 x-3=0

，解得定点F；设椭圆C的方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则

c=3 a+c=8 a2=b2+c2

，解得a、b，即得椭圆C的方程．
（Ⅱ）点P（m，n）在椭圆C上，则1=

m2

25

+

n2

16

＜m2+n2，从而得圆心O到直线l的距离d=

1

m2+n2

＜1=r，即直线l与圆O相交；直线l被圆O截得的弦长为L=2

r2-d2

=2

1- 1 m2+n2

，
可得L的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由（k+1）x-y-3-3k=0（k∈R），得x-y-3+k（x-3）=0，
则由

x-y-3=0 x-3=0

，解得定点F（3，0）；
设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，则

c=3 a+c=8 a2=b2+c2

，解得

a=5 b=4 c=3

；
所以椭圆C的方程为

x2

25

+

y2

16

=1．
（Ⅱ）因为点P（m，n）在椭圆C上运动，所以1=

m2

25

+

n2

16

＜m2+n2，从而圆心O到直线l：mx+ny=1的距离d=

1

m2+n2

＜1=r，所以直线l与圆O恒相交；
又直线l被圆O截得的弦长为L=2

r2-d2

=2

1- 1 m2+n2

=2

1- 1 9 25 m2+16

，
由于0≤m²≤25，所以16≤

9

25

m2+16≤25，则L∈[

15

2

，

4 6

5

]，
即直线l被圆O截得的弦长的取值范围是L∈[

15

2

，

4 6

5

]．

点评：本题考查了直线与椭圆，直线与圆的综合应用问题，也考查了直线过定点的问题；解题时要认真分析，灵活运用所学的知识，细心解答．