Question

已知动圆P与定圆B：x²+y²+2x-35=0内切，且动圆经过一定点A（1，0）．
（1）求动圆圆心P的轨迹方程；
（2）过点B（圆心）的直线与点P的轨迹交与M，N两点，求△AMN面积的最大值．

Answer 1

解：（1）定圆B的圆心为B（-1，0），半径r=6，
因为动圆P与定圆B内切，且动圆P过定点A（1，0）
所以|PA|+|PB|=6．
所以动圆圆心P的轨迹是以B、A为焦点，长轴长为6的椭圆．
∴所求椭圆的方程为．（5分）
（2）由题意设直线l的方程为my=x+1，
与点P的轨迹方程联立，得（8m²+9）y²-16my-64=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则，，
∴，
令，则m²=t²-1，
∴，
∵在[1，+∞）上单调递增，
∴，
∴△AMN面积的最大值为．
分析：（1）定圆B的圆心为B（-1，0），半径r=6，因为动圆P与定圆B内切，且动圆P过定点A（1，0），所以|PA|+|PB|=6．由此能求出椭圆的方程．
（2）由题意设直线l的方程为my=x+1，与点P的轨迹方程联立，得（8m²+9）y²-16my-64=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则，，，由此能求出△AMN面积的最大值．
点评：本题考查椭圆方程的求法和三角形面积最大值的计算，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．