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【题目】已知函数.

(1)求函数的单调区间与极值.

(2)时,是否存在,使得成立?若存在,求实数的取值范围,若不存在,请说明理由.

【答案】(1)分类讨论,详见解析;(2).

【解析】

1)求出函数的定义域,接着求导,对参数分类讨论。

2)假设存在,使得成立,则对,满足,将问题转化为求

解:(1

时,恒成立,即函数的单调增区间为,无单调减区间,所以不存在极值.

时,令,得,时,,当时,

故函数的单调增区间为,单调减区间为,此时函数处取得极大值,极大值为,无极小值.

综上,当时,函数的单调增区间为,无单调减区间,不存在极值.当时,函数的单调增区间为,单调减区间为,极大值为,无极小值

2)当时,假设存在,使得成立,则对,满足

可得,

.

,则,所以上单调递增,所以,所以,所以上单调递增,

所以

由(1)可知,①当时,即时,函数上单调递减,所以的最小值是

②当,即时,函数上单调递增,

所以的最小值是

③当时,即时,函数上单调递增,在上单调递减.,所以当时,上的最小值是.时,上的最小值是

所以当时,上的最小值是,故

解得,所以

时,函数上的最小值是,故

解得,所以.故实数的取值范围是

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