【题目】已知函数,.
(1)求函数的单调区间与极值.
(2)当时,是否存在,使得成立?若存在,求实数的取值范围,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)分类讨论,详见解析;(2).
【解析】
(1)求出函数的定义域,接着求导,对参数分类讨论。
(2)假设存在,使得成立,则对,满足,将问题转化为求与。
解:(1),
当时,恒成立,即函数的单调增区间为,无单调减区间,所以不存在极值.
当时,令,得,当时,,当时,,
故函数的单调增区间为,单调减区间为,此时函数在处取得极大值,极大值为
综上,当时,函数的单调增区间为,无单调减区间,不存在极值.当时,函数的单调增区间为,单调减区间为,极大值为,无极小值
(2)当时,假设存在,使得成立,则对,满足
由可得,
.
令,则,所以在上单调递增,所以,所以,所以在上单调递增,
所以
由(1)可知,①当时,即时,函数在上单调递减,所以的最小值是.
②当,即时,函数在上单调递增,
所以的最小值是.
③当时,即时,函数在上单调递增,在上单调递减.又,所以当时,在上的最小值是.当时,在上的最小值是
所以当时,在上的最小值是,故,
解得,所以.
当时,函数在上的最小值是,故,
解得,所以.故实数的取值范围是
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【题目】西北某省会城市计划新修一座城市运动公园,设计平面如图所示:其为五边形,其中三角形区域为球类活动场所;四边形为文艺活动场所,,为运动小道(不考虑宽度),,千米.
(1)求小道的长度;
(2)求球类活动场所的面积最大值.
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【题目】某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示,圆柱表面上的点在正视图上的对应点为,圆柱表面上的点在左视图上的对应点为,则在此圆柱侧面上,从到的路径中,最短路径的长度为( )
A. B. C. D. 2
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【题目】2018年是中国改革开放的第40周年,为了充分认识新形势下改革开放的时代性,某地的民调机构随机选取了该地的100名市民进行调查,将他们的年龄分成6段:,并绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)现从年龄在内的人员中按分层抽样的方法抽取8人,再从这8人中随机抽取3人进行座谈,用表示年龄在内的人数,求的分布列和数学期望;
(2)若用样本的频率代替概率,用随机抽样的方法从该地抽取20名市民进行调查,其中有名市民的年龄在的概率为.当最大时,求的值.
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【题目】用一张长为12,宽为8的铁皮围成圆柱形的侧面,则这个圆柱的体积为_____;半径为R的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,那么这个圆锥筒的高是_____.
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【题目】回答下列两个问题, 并给出例子或证明.
(1)对任意正整数, 在平面上是否都存在个不在同一条直线上的点, 使得任意两点间的距离都为正整数?
(2)在平面上是否存在两两不同的无限点列组成的点集, 使得内所有点不在同一条直线上, 且内任意两点间的距离为正整数?
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