练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    如图，在四面体ABCD中，平行于AB，CD的平面β截四面体所得截面为EFGH．
    （1）若AB=CD=a，求证：截面EFGH为平行四边形且周长为定值．
    （2）如果AB与CD所成角为θ，AB=a，CD=b是定值，当E在AC何处时？截面EFGH的面积最大，最大值是多少？
    （3）若AB到平面的距离为d1，CD到平面的距离为d2，且
    d1
    d2
    =k，求立体图形ABEFGH与四面体ABCD的体积之比（用k表示）．
    考点：棱柱、棱锥、棱台的体积
    专题：空间位置关系与距离
    分析：（1）利用线面平行的判定与性质，证出EF∥GH且EH∥FG，从而得到四边形EGFH的两组对边分别平行，即四边形EFGH为平行四边形．
    （2）根据线面平行的性质定理，容易得到AB∥HG，同理可得AB∥EF，所以得到HG∥EF，同理可得到截面EFGH的另一组对边EH∥FG，这样便得到截面EFGH的两组对边都平行，即得到截面EFGH是平行四边形；
    （3）把两个图形的体积表示出来求其体积之比即可．
    解答： （1）证明：∵AB∥平面EFGH，AB?平面CAB，平面CAB∩平面EFGH=EF
    ∴AB∥EF．同理可得BA∥GH，可得EF∥GH，同理得到GF∥HE，
    ∴四边形EFGH为平行四边形．         …（2分）
    且BA=DC=a，∴
    EH
    CD
    =
    AE
    AC
    ①，
    EF
    AB
    =
    CE
    AC
    ②，
    则①+②得，
    EH
    CD
    +
    EF
    AB
    =
    AE
    AC
    +
    CE
    AC
    =1
    ∵BA=DC=a，
    ∴EF+EH=a，
    ∴四边形EFGH的周长=2a，
    故四边形EFGH的周长为定值．  …（4分）

    （2）∵BA与DC所成角为θ，
    ∴平行四边形EFGH中∠EFG=θ或180°-θ，
    ∵EFGH为平行四边形，令
    CE
    CA
    =λ(0＜λ＜1)    ，
    ∴
    EH
    b
    =
    AE
    AC
    ⇒EH=
    AE
    AC
    b=(1-λ)b
    EF
    a
    =
    CE
    AC
    ⇒EF=
    CE
    AC
    a=λa
    SEFGH=EF•EH•sinθ=λa（1-λ）bsinθ=λ（1-λ）absinθ
    ∴当λ=
    1
    2
    时，即E为AC中点时，截面EFGH面积最大，最大值为
    1
    4
    absinθ    …（7分）
    （3）解：设A到平面DBC的距离为h．
    在△ABC中，∵AE：EC=d1：d3，
    ∴S△ABF：S△AEF：S△CEF=(d12+d1d2)：d1d2：d22
    ∴
    VG-AEF
    VG-ABF
    =
    d1d2
    d12+d1d2
    =
    d2
    d1+d2
    ，
    又∵VG-AEF=VG-AEH，VG-ABF=VA-BEG=
    1
    3
    S△BFG•h    ，
    ∴VABEFGH=
    1
    3
    S△BFG•h+
    2
    3
    •
    d2
    d1+d2
    S△BFG•h    ．
    点评：考查线面垂直的性质，余弦定理，线面平行的性质定理，以及平行线分线段成比例，基本不等式：a+b≥2
    		ab
    ，a＞0，b＞0．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    求函数f（x）=
    1
    4x+7
    的定义域．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知F1，F2是椭圆
    x2
    2
    +
    y2
    4
    =1的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上一点，且满足
    PF1
    •
    PF2
    =1过点P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A，B两点，
    （1）求点P坐标；
    （2）求证：直线AB的斜率为定值；
    （3）求△PAB面积的最大值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，PD=PA，已知AB=2DC=10，BD=
    4
    3
    AD=8．
    （1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；
    （2）当三角形PAD为正三角形时，点M在线段PC（不含线段端点）上的什么位置时，二面角P-AD-M的大小为
    π
    3
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    若等差数列{an}中，a1=3，a4=12，{bn-an}为等比数列，且数列{bn}满足b1=4，b4=20．
    （1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
    （2）求数列{bn}的前n项和．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知F1、F2为椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左右焦点，椭圆C的离心率为
    		2
    2
    ，过左焦点F1的直线与C相交于A、B两点，△ABF2面积的最大值为3
    		2
    ，求椭圆C的方程．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，在四边形ABCD中，
    AB
    =
    DC
    ，已知|
    AB
    |=8，|
    AD
    |=5，
    AB
    与
    AD
    的夹角为θ，且cosθ=
    11
    20
    ，
    CP
    =3
    PD
    ，则
    AP
    •
    BP
    =（　　）
    A、2B、4C、6D、10

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    台风中心从A地以每小时20公里的速度向东北方向移动，离台风中心30公里内地区为危险区，城市B在A的正东40公里处，则B城市处于危险区的时间为
     
    小时．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}满足a1=1，a2=1，an+2=an+1+an，则a6=
     
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案