Question

设复数z满足条件|z|=1，那么|z+

3

+i|取最大值时的复数z为

 

．

Answer 1

分析：复数的模转化为距离，|z|=1是单位圆上的点，|z+

3

+i|是单位圆上点与(-

3

，-1)的距离的最大值，
可求解答案．

解答：解：复数z满足条件|z|=1，它是复平面上的单位圆，那么|z+

3

+i|表示单位圆上的点到(-

3

，-1)的距离，
要使此距离取最大值的复数z，就是(-

3

，-1)和）（0，0）连线和单位圆在第一象限的交点．
∵点(-

3

，-1)到原点距离是2．单位圆半径是1，此连线与单位圆在第一象限交点是(

3

2

，

1

2

)．
故答案为：

3

2

+

1

2

i

点评：本题考查复数的模的几何意义，复数和复平面内的点的一一对应，三角形相似，数形结合的思想，难度较大．
本题也可利用三角代换、复数辐角主值求解．