Question

设AB为过抛物线y²=8x的焦点的弦，若A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），m=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

，则实数m的最小值为（　　）

• A、2
• B、4
• C、8
• D、16

Answer 1

分析：欲求实数m的最小值，根据两点间的距离公式知即求焦点弦|AB|的最小值．根据抛物线方程可得焦点坐标，进而可设直线L的方程与抛物线联立根据韦达定理求得x₁+x₂，进而根据抛物线定义可求得|AB|的表达式，整理可得|AB|=8（1+

1

k2

），由于k=tana，进而可知当a=90°时AB|有最小值．

解答：解：焦点F坐标（ 2，0），设直线L过F，则直线L方程为y=k（x-2）
联立y²=8x得k²x²-（4k²+8）x+4k²=0
由韦达定理得x₁+x₂=4+

8

k2

|AB|=x₁+x₂+4=8（1+

1

k2

）
因为k=tana，所以1+

1

k2

=1+

1

tan2α

=

1

sin2α

∴|AB|=

2p

sin2α

当a=90°时，即AB垂直于X轴时，AB取得最小值，最小值是|AB|=2p
故选C

点评：本题主要考查抛物线的应用．这道题综合了抛物线的性质、抛物线的焦点弦、直线与抛物线的关系等问题，解题的关键是正确联立方程，写出根和系数的关系．