Question

已知点（

1

2

，16）在幂函数y=f（x）的图象上．
（1）求f（x）的解析式；
（2）写出f（x）的单调区间；
（3）求不等式f（2x-1）＜f（x）的解集．

Answer 1

分析：（1）设幂函数y=f（x）=x^α，根据点（

1

2

，16）在幂函数y=f（x）的图象上，求得α 的值，可得函数的解析式为f（x）．
（2）由函数的解析式 f（x）=

1

x4

，求得函数的减区间．
（3）由不等式f（2x-1）＜f（x），可得①2x-1＞x＞0，或②2x-1＜x＜0，或③

2x-1＜0 x＞0

．分别求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．

解答：解：（1）设幂函数y=f（x）=x^α，根据点（

1

2

，16）在幂函数y=f（x）的图象上，
可得 (

1

2

)α=16=(

1

2

)-4，解得α=-4，
∴函数的解析式为f（x）=x^-4．
（2）∵f（x）=

1

x4

，它在（0，+∞）上是减函数，在（-∞，0）上也是减函数，
故函数的减区间为（-∞，0）、（0，+∞）．
（3）由不等式f（2x-1）＜f（x），可得①2x-1＞x＞0，或②2x-1＜x＜0，或③

2x-1＜0 x＞0

．
解①求得x＞1，解②求得x＜0，解③求得0＜x＜

1

2

．
综上可得，不等式的解集为（1，+∞）∪（0，

1

2

）∪（-∞，0）．

点评：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，函数的单调性的判断，利用函数的单调性解不等式，属于基础题．