Question

3．设函数f（x）=$\frac{x-1}{x+1}$，x∈R且x≠-1，
（Ⅰ）就m的取值情况，讨论关于x的方程f（x）-x=m在x∈[0，1]上的解；
（Ⅱ）若可变动的实数x₁，x₂满足f（3^x₁）+f（3^x₂）=1，求f（x₁+x₂）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令y=$\frac{x-1}{x+1}$-x，从而求导y′=$\frac{（\sqrt{2}-1-x）（x+\sqrt{2}+1）}{（x+1）^{2}}$，从而确定函数的单调性，从而确定解的个数；
（Ⅱ）由题意可得${3}^{{x}_{1}}$+${3}^{{x}_{2}}$=${3}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$-3，从而由基本不等式可得${3}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$-3≥2$\sqrt{{3}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$，从而可得x₁+x₂≥2（当且仅当x₁=x₂=1时，等号成立）；从而求最小值．

解答 解：（Ⅰ）令y=$\frac{x-1}{x+1}$-x，则y′=$\frac{（\sqrt{2}-1-x）（x+\sqrt{2}+1）}{（x+1）^{2}}$，
故y=$\frac{x-1}{x+1}$-x在[0，$\sqrt{2}$-1）上是增函数，在（$\sqrt{2}$-1，1]上是减函数；
y|_x=0=-1，y|_{x=$\sqrt{2}$-1}=2-2$\sqrt{2}$，y|_x=1=-1，
故当m＜-1或m＞2-2$\sqrt{2}$时，方程f（x）-x=m在x∈[0，1]上无解；
当m=2-2$\sqrt{2}$时，方程f（x）-x=m在x∈[0，1]上有一个解；
当-1≤m＜2-2$\sqrt{2}$时，方程f（x）-x=m在x∈[0，1]上有两个解．
（Ⅱ）∵f（3^x₁）+f（3^x₂）=1，
∴1-$\frac{2}{{3}^{{x}_{1}}+1}$+1-$\frac{2}{{3}^{{x}_{2}}+1}$=1，
即$\frac{2}{{3}^{{x}_{1}}+1}$+$\frac{2}{{3}^{{x}_{2}}+1}$=1，
即${3}^{{x}_{1}}$+${3}^{{x}_{2}}$=${3}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$-3，
又∵${3}^{{x}_{1}}$+${3}^{{x}_{2}}$≥2$\sqrt{{3}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$，
∴${3}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$-3≥2$\sqrt{{3}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}$，
解得，${3}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$≥9，
故x₁+x₂≥2（当且仅当x₁=x₂=1时，等号成立）；
且函数f（x）=$\frac{x-1}{x+1}$在（-1，+∞）上是增函数，
故f（x₁+x₂）的最小值为f（2）=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了导数的综合应用及基本不等式的综合应用，属于难题．