Question

设命题P：x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的两个实根，不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|对任意实数a∈[-1，1]恒成立，命题Q：不等式|x-2m|-|x|＞1（m＞0）有解，若P且Q为真，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：由方程的根与系数关系可得，x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，而|x₁-x₂|=

(x1-x2)2

=

(x1+x2)2- 4x1x2

代入结合a得范围可求|x₁-x₂|的最大值，结合已知可得|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|_max在a∈[-1，1]成立即可，从而可求P对应的m得范围；再由不等式|x-2m|-|x|＞1（m＞0）有解，则只要f（x）_max＞1，从而可求Q所对应的m的范围，由P且Q为真可知P，Q都为真命题，即可求

解答：解：∵x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的两个实根
∴x₁+x₂=a，x₁x₂=-2
∴|x₁-x₂|=

(x1-x2)2

=

(x1+x2)2- 4x1x2

=

a2+8

当a∈[-1，1]时，

a2+8

∈[2

2

，3]
∵不等式|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|对任意实数a∈[-1，1]恒成立
则只要|m²-5m-3|≥|x₁-x₂|_max在a∈[-1，1]成立即可
∴|m²-5m-3|≥3
∴m²-5m-3≥3或m²-5m-3≤-3
即m²-5m-6≥0或m²-5m≤0
解不等式可m²-5m-6≥0得，m≥6或m≤-1
解不等式m²-5m≤0得，0≤m≤5
综上可得，P：m≥6或m≤-1或0≤m≤5
∵不等式|x-2m|-|x|＞1（m＞0）有解
令f（x）=|x-2m|-|x|=

2m，x≤0 -2x+2m，0＜x＜m -2m，x≥2m

，
结合该函数的性质可知，函数的最大值为2m，最小值为-2m
若使得不等式|x-2m|-|x|＞1（m＞0）有解，则只要f（x）_max＞1即2m＞1即可
Q：m＞

1

2

∵P且Q为真
∴P，Q都为真命题
∴

m＞ 1 2 m≥6或m≤-1或0≤m≤5

∴m≥6或

1

2

＜m≤5

点评：本题目主要考查了复合命题的真假判断的应用，解题得关键是熟练应用函数的知识准确求出命题P，Q为真时的m的取值范围．