Question

【题目】如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，底面ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，M为PC的中点．

(1)求证：PC⊥AD.

(2)在棱PB上是否存在一点Q，使得A，Q，M，D四点共面？若存在，指出点Q的位置并证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）取AD的中点O，连接OP，OC，AC，由线面垂直判定定理证明AD⊥平面POC，继而得到PC⊥AD

（2）取棱PB的中点Q，连接QM，证明QM∥AD，从而A，Q，M，D四点共面

(1)证明：如图，取AD的中点O，连接OP，OC，AC.

依题意可知△PAD，△ACD均为正三角形．

所以OC⊥AD，OP⊥AD.

又OC∩OP＝O，OC平面POC，OP平面POC，所以AD⊥平面POC.

又PC平面POC，所以PC⊥AD.

(2)解：当点Q为棱PB的中点时，A，Q，M，D四点共面．

证明如下：

取棱PB的中点Q，连接QM.

因为M为PC的中点，所以QM∥BC.

在菱形ABCD中，AD∥BC，所以QM∥AD.

所以A，Q，M，D四点共面．