Question

20．已知函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．
（1）若函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
（2）若f（x）在区间（-∞，2]，上是减函数，且对任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）确定函数的对称轴，从而可得函数的单调性，利用f（x）的定义域和值域均是[1，a]，建立方程，即可求实数a的值．
（2）可以根据函数f（x）=x²-2ax+5=（x-a）²+5-a²．开口向上，对称轴为x=a，可以推出a的范围，利用函数的图象求出[1，a+1]上的最值问题，对任意的x∈[1，a+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，从而求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1），∴f（x）开口向上，对称轴为x=a＞1，…（2分）
∴f（x）在[1，a]是单调减函数，…（6分）
∴f（x）的最大值为f（1）=6-2a；f（x）的最小值为f（a）=5-a²…（10分）
∴6-2a=a，且5-a²=1
∴a=2…（14分）
（2）函数f（x）=x²-2ax+5=（x-a）²+5-a²．开口向上，对称轴为x=a，
∵f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，对称轴大于等于2，
∴a≥2，a+1≥3，
f（x）在（1，a）上为减函数，在（a，a+1）上为增函数，
f（x）在x=a处取得最小值，f（x）_min=f（a）=5-a²，
f（x）在x=1处取得最大值，f（x）max=f（1）=6-2a，
∴5-a²≤f（x）≤6-2a，
∵对任意的x∈[1，a+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，
∴6-2a-（5-a²）≤4，解得：-1≤a≤3；
综上：2≤a≤3．

点评 本题考查二次函数的最值问题，考查函数的单调性，确定函数的单调性是关键，此题是一道函数的恒成立问题，第二问难度比较大，充分考查了函数的对称轴和二次函数的图象问题，是一道中档题．