Question

已知向量m=(2cos2x，sinxcosx)，n=(a，b)，f(x)=m•n-

3

2

，函数f（x）的图象关于直线x=

π

12

对称，且f(0)=

3

2

（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）函数的图象经过怎样平移变换能使所得图象对应的函数为偶函数？

Answer 1

分析：先求出f（x）的解析式，再根据正弦型函数的性质进行求解，具体是：先把函数式化成形如y=Asin（ωx+φ）（ω＞0）的形式，（1）根据T=

2π

ω

，确定函数的同期；（2）再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间．（3）偶函数的图象关于原点对称，即当x=0时，函数取最值．

解答：解：（1）f（x）=

m

•

n

-

3

2

=2acos2x+bsinxcosx- 

3

2

=a(cos2x+1)+

b

2

sin2x-

3

2

=acos2x+

b

2

sin2x+a-

3

2

∵且f(0)=

3

2

∴a=

3

2

又∵函数f（x）的图象关于直线x=

π

12

对称
∴f（

π

6

）=f（0）∴b=1
∴f（x）=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x=sin(2x+

π

3

)
∴T=

2π

ω

=π
（2）当f（x）单调递增时，-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，(k∈Z)
∴-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，(k∈Z)
∴f（x）的单调递增区间为[ -

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ](k∈Z)
（3）f（x）=sin（2x+

π

3

）=cos2（x-

π

12

）
∴f（x）的图象向左平移

π

12

个单位后，所对应的函数为偶函数

点评：在求正弦型函数的性质时，要遵循以下步骤：①先把函数式化成形如y=Asin（ωx+φ）（ω＞0）的形式?②根据T=

2π

ω

，确定函数的同期?③再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间?④偶函数的图象关于原点对称，即当x=0时，函数取最值．