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【题目】函数f(x)的定义域为D,若满足①f(x)在D内是单调函数,②存在[a,b]D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],那么y=f(x)叫做闭函数,现有f(x)= +k是闭函数,那么k的取值范围是

【答案】(﹣ ,a]
【解析】解:函数f(x)= +k 的定义域为[﹣2,+∞),且在定义域内是增函数,故满足①,

又f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],∴f(a)=a,f(b)=b,

+k=a,且 +k=b,∴a+2=(a﹣k)2,且 b+2=(b﹣k)2,且k≤a,k≤b.

,故 a和 b 是方程 x2﹣(2k+1)x+k2﹣2=0在[﹣2,+∞)上的两个根.

令 g(x)=x2﹣(2k+1)x+k2﹣2,

则有 ,解得 a≥k>﹣ ,那么k的取值范围是(﹣ ,a],

所以答案是:(﹣ ,a].

【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的值域的相关知识,掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,以及对函数单调性的判断方法的理解,了解单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较.

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