Question

如图，河道上有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面为8m，拱圈内水面宽16m．，为保证安全，要求通过的船顶部（设为平顶）与拱桥顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m．
（1）一条船船顶部宽4m，要使这艘船安全通过，则　　　 船在水面以上部分高不能超过多少米？
（2）近日因受台风影响水位暴涨2.7m，为此必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．试问：一艘顶部宽m，在水面以上部分高为4m的船船身应至少降低多少米才能安全通过？

Answer 1

解：（1）如图所示，以过拱桥的最高点且平行水面的直线为X轴，最高点O为原点建立直角坐标系（1分）
设抛物线方程为x²=-2py，将点（8，-8）代入得2p=8，
∴抛物线方程是x²=-8y，（4分）
将x=2代入得，8-0.5-0.5=7，
故船在水面以上部分高不能超过7米．（6分）
（2）将代入方程x²=-8y得y=-1，（8分）
此时1+0.5+2.7+4=8.2，
故船身应至少降低0.2米（10分）
分析：（1）设抛物线方程x²=-2py，抛物线过点点（8，-8）代入抛物线方程求出参数p 即得抛物线方程，最后令其x=2即可得出船在水面以上部分高不能超过多少米．
（2）把x=2代入抛物线的方程求得y值，由1+0.5+2.7+4=8.2，可知船身应至少降低0.2米能安全通过此桥．
点评：本题考查用待定系数法求抛物线的标准方程的方法，以及利用抛物线的方程解决实际问题．