Question

（本小题满分12分）
设直线
（I）证明与相交；
（II）证明与的交点在椭圆

Answer 1

（I）反证法，见解析；  （II）交点P在椭圆

(I)本小题不易直接证明,因而可考虑采用反证法,先假设l₁与l₂不相交，则l₁与l₂平行可得k₁=k₂，这样可以推证与已知条件矛盾.从而问题得证.
(II)先根据l₁和l₂的方程联立解方程组可求出其交点坐标,然后代入椭圆方程证明方程成立即可.
证明：（I）反证法，假设是l₁与l₂不相交，则l₁与l₂平行，有k₁=k₂，代入k₁k₂+2=0，得
此与k₁为实数的事实相矛盾. 从而相交. …………5 分
（II）（方法一）由方程组解得交点P的坐标为
而                 
此即表明交点…………12分
（方法二）交点P的坐标满足

整理后，得所以交点P在椭圆