Question

（2007•汕头二模）设f（x）=ax+b，a≠0，S_n=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n），若f（3）=5，且f（1），f（2），f（5）成等比数列，求S_n．

Answer 1

分析：由题意可得

3a+b=5 (a+b)(5a+b)=(2a+b)2

，解之可得函数的解析式，进而可判{ f（n）}是等差数列，可得f（1），f（n），可得其和S_n．

解答：解：∵f（3）=5，f（1）、f（2）、f（5）成等差数列，
∴

3a+b=5 (a+b)(5a+b)=(2a+b)2

，…（3分）
解得

a=2 b=1

，或

a=0 b=5

（舍去，因为a≠0），…（5分）
∴f（x）=2x-1，…（6分）
∴f（n+1）-f（n）=2（n+1）-1-（2n-1）=2，（8分）
∴{ f（n）}是等差数列，f（1）=1，f（n）=2n-1，…（10分）
∴S_n=

n(1+2n-1)

2

=n2．                                 …（12分）

点评：本题考查等比数列的性质，涉及等差数列的判定和函数解析式的求解，属中档题．