Question

12．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），F₁，F₂分别为椭圆的左右焦点，M为椭圆上任意一点，且2|F₁F₂|-|MF₁|=|MF₂|，过椭圆焦点垂直于长轴的半弦长为$\frac{3}{2}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，求出该圆的方程．

Answer 1

分析 （1）由2|F₁F₂|-|MF₁|=|MF₂|，得2|F₁F₂|=|MF₁|+|MF₂|，结合过椭圆焦点垂直于长轴的半弦长为$\frac{3}{2}$，以及隐含条件列出方程，求出a、b，即可求椭圆E的方程；
（2）假设以原点为圆心，r为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m，则r=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，然后联立直线方程与椭圆方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），结合x₁x₂+y₁y₂=0，即可求圆的方程；（ⅱ）若AB的斜率不存在，设A（x₁，y₁），则B（x₁，-y₁），利用$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，求出半径，得到圆的方程，综合以上可得存在以原点为圆心的圆x²+y²=$\frac{12}{7}$满足题设条件．

解答 解：（1）由题2|F₁F₂|-|MF₁|=|MF₂|，知2|F₁F₂|=|MF₁|+|MF₂|，
即2×2c=2a，得a=2c．
又由$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{3}{2}$，得${b}^{2}=\frac{3}{2}a$，
且a²=b²+c²，综合解得c=1，a=2，b=$\sqrt{3}$．
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）假设以原点为圆心，r为半径的圆满足条件．
（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m，则r=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
r²=$\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}+1}$，①
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3）=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
又∵$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
即4（1+k²）（m²-3）-8k²m²+3m²+4k²m²=0，
化简得m²=$\frac{12}{7}$（k²+1），②
由①②求得r²=$\frac{12}{7}$．
所求圆的方程为x²+y²=$\frac{12}{7}$；
（ⅱ）若AB的斜率不存在，设A（x₁，y₁），则B（x₁，-y₁），
∵$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，得x=$\frac{12}{7}$．
此时仍有r²=|x|=$\frac{12}{7}$．
综上，总存在以原点为圆心的圆x²+y²=$\frac{12}{7}$满足题设条件．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，是与向量相结合的综合问题．考查分析问题解决问题的能力．体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．