Question

已知f（x）=1nx－a（x－l），a∈R
（I）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若x≥1时，石恒成立，求实数a的取值范围，

Answer 1

（I）在上单调递增；在上单调递减．（Ⅱ）

试题分析：解：（Ⅰ）的定义域为，．
①当时，则，∴在上单调递增；
②当时，令，得；令，得，
∴在上单调递增；在上单调递减．
（Ⅱ）由题意，时，恒成立．
设，则对时恒成立．
则 
①当时，，即在上单调递减，
∴当时，与恒成立矛盾．
②当时，对于方程（*），
（ⅰ），即时，，即在上单调递增，
∴符合题意．
（ⅱ），即时，方程（*）有两个不等实根，不妨设，则，
当时，，即递减，∴与恒成立矛盾．
综上，实数的取值范围为．
另解：时，恒成立，
当时，上式显然成立；当时，恒成立．
设，可证在上单调递减（需证明），
又由洛必达法则知，，∴．
故，．
点评：导数常应用于求曲线的切线方程、求函数的最值与单调区间、证明不等式和解不等式中参数的取值范围等。