Question

6．设a＞0，函数f（x）=cosx（2asinx-cosx）+sin²x的最大值为2．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c且$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}$=$\frac{c}{2a-c}$，求f（x）在[B，$\frac{π}{2}}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）化解f（x），根据最大值为2，求得a的值，利用辅助角公式求得f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递减区间；
（2）利用余弦定理将$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}$=$\frac{c}{2a-c}$化简，根据正弦定理求及两角和的正弦公式即可求得B的值，根据正弦函数的单调性，求得f（x）在[B，$\frac{π}{2}}$]上的值域．

解答 解：（1）f（x）=cosx（2asinx-cosx）+sin²x=asin2x-cos2x…（2分）
由$f{（x）_{max}}=\sqrt{{a^2}+1}=2$得，$a=\sqrt{3}$…（3分）
因此$f（x）=asin2x-cos2x=\sqrt{3}sin2x-cos2x=2sin（2x-\frac{π}{6}）$…（4分）
令$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z$，
解得：$\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{5π}{6}+kπ，k∈Z$，
故函数f（x）的单调递减区间$[{\frac{π}{3}+kπ，\frac{5π}{6}+kπ}]（k∈Z）$…（6分）
（2）由余弦定理知：$\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}=\frac{2accosB}{2abcosC}=\frac{ccosB}{bcosC}=\frac{c}{2a-c}$即2acosB-ccosB=bcosC，…（8分）
又由正弦定理知：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，
即$cosB=\frac{1}{2}$，
所以$B=\frac{π}{3}$…．…（10分）
当$x∈[{\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}]$时，
$2x-\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{2}，\frac{5π}{6}}]$，f（x）∈[1，2]，
故f（x）在[B，$\frac{π}{2}}$]上的值域为[1，2]…．…（12分）

点评 本题考查三角恒等变换与正余弦定理相结合，考查正弦函数图象及性质，考查综合分析问题及解决问题的能力，属于中档题．