精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(2012•成都一模)巳知各项均为正数的等差数列{an}三项的和为27,且满足a1a3=65数列{bn}的前n项和为Sn,且对一切正整数n,点(n,Sn)都在函数f(x)=
3x+1
2
-
3
2
图象上.
(I) 求数列{an}、{bn}通项公式;
(II)设cn=anbn,求数列{cn}前n项和Tn
(III)设dn=bn+(-1)n-1(2n+1+2)λ(n∈N*),若dn+1>dn,n∈N*成立,试证明:λ∈(-
9
14
3
8
)
分析:(I)利用等差数列{an}三项的和为27,可得a2,根据a1a3=65,等差数列{an}的各项均为正数,可得d,从而可求数列{an}的通项公式;利用点(n,Sn)都在函数f(x)=
3x+1
2
-
3
2
图象上,可求数列{bn}的通项公式;
(II)利用错位相减法可求数列的和;
(III)利用若dn+1>dn,n∈N*成立,可得(-1)n(3×2n+1+4)λ>-2×3n,再分n为正偶数、正奇数,利用分类参数法,求出相应的最值,即可求得结论.
解答:(I)解:∵等差数列{an}三项的和为27,∴a2=9
∵a1a3=65,∴(9-d)(9+d)=65,∴d=±4
∵等差数列{an}的各项均为正数,∴d=4,∴a2=,5
∴an=4n+1;
∵点(n,Sn)都在函数f(x)=
3x+1
2
-
3
2
图象上.
∴当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=3n
∵n=1时,b1=3
∴bn=3n
(II)解:cn=anbn=(4n+1)•3n
∴数列{cn}前n项和Tn=5×3+9×32+…+(4n+1)•3n,①
∴3Tn=5×32+9×33+…+(4n+1)•3n+1,②
①-②整理可得:-2Tn=5×3+4×32+…+4•3n-(4n+1)•3n+1
∴Tn=
3
2
+
4n-1
2
×3n+1

(III)证明:∵dn=bn+(-1)n-1(2n+1+2),dn+1>dn,n∈N*成立,
∴3n+1+(-1)n(2n+2+2)λ>3n+(-1)n-1(2n+1+2)λ
∴(-1)n(3×2n+1+4)λ>-2×3n
(1)当n为正偶数时,有(3×2n+1+4)λ>-2×3n恒成立
λ>(-
3n
2n+2
)max
=[-
1
3×(
2
3
)n+2×(
1
3
)n
]max

∵n=2时,[-
1
(
2
3
)
n
+2×(
1
3
)
n
]
max
=-
9
14

λ>-
9
14

(2)当n为正奇数时,有-(3×2n+1+4)λ>-2×3n恒成立
λ<(
3n
2n+2
)
min
=[
1
(
2
3
)
n
+2×(
1
3
)
n
]
min

∵n=1时,[
1
(
2
3
)
n
+2×(
1
3
)
n
]
min
=
3
8

λ<
3
8

综上可知dn+1>dn,n∈N*成立时,λ∈(-
9
14
3
8
)
点评:本题考查数列的通项,考查数列的求和,考查求参数的范围,解题的关键是正确运用数列的求和方法,正确分离参数,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•成都一模)已知函数f(x)=x2-2mx+2-m
(1)若不等式f(x)≥-mx+2在R上恒成立,求实数m的取值范围
(2)设函数f(x)在[0,1]上的最小值为g(m),求g(m)的解析式及g(m)=1时实数m的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•成都一模)若函数f(x)满足:在定义域D内存在实数x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,则称函数f(x)为“1的饱和函数”.有下列函数:
①f(x)=
1x
;②f(x)=2x

③f(x)=lg(x2+2);
④f(x)=cosπx,
其中你认为是“1的饱和函数”的所有函数的序号为
②④
②④

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•成都一模)设正方体ABC-A1B1C1D1 的棱长为2,动点E,F在棱A1B1上,动点P、Q分别在棱AD、CD上,若EF=1,A1E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z>0),则下列结论中错误的是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•成都一模)已知函数f(x)=
3
inωxcosωx+1-sin2ωx
的周期为2π,其中ω>0.
(I)求ω的值及函数f(x)的单调递增区间;
(II)在△ABC中,设内角A、B、C所对边的长分别为a、b,c若a=
3
,c=2,f(A)=
3
2
,求b的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•成都一模)设集合S={1,2,3,4,5,6},定义集合对(A,B):A⊆S,B⊆S,A中含有3个元素,B中至少含有2个元素,且B中最小的元素不小于A中最大的元素.记满足A∪B=S的集合对(A,B)的总个数为m,满足A∩B≠∅的集合对(A,B)的总个数为n,则
m
n
的值为(  )

查看答案和解析>>

同步练习册答案