Question

已知点P，A，B，C，D都是直径为3的球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，若PA=1，则几何体P-ABCD的体积为

4

3

．

Answer 1

分析：可将P，A，B，C，D补全为长方体ABCD-A′B′C′D′，让P与A′重合，则该长方体的对角线PC即为球O的直径（球O为该长方体的外接球），于是可求得PC的长度，进一步可求出底面边长，从而求几何体P-ABCD的体积．

解答：解：依题意，可将P，A，B，C，D补全为长方体ABCD-A′B′C′D′，让P与A′重合，
则球O为该长方体的外接球，长方体的对角线PC即为球O的直径．
设ABCD是边长为a，PA⊥平面ABCD，PA=1，
∴PC²=AP²+2AB²=1+2a²=3²，
∴a²=4，
则几何体P-ABCD的体积为V=

1

3

×a2×PA=

4

3

．
故答案为：

4

3

点评：本题考查直线与平面垂直的性质，考查球内接多面体的应用，“补形”是关键，考查分析、转化与运算能力，属于中档题．