Question

5．平面直角坐标系x0y中，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，左、右焦点分别是F₁，F₂，以F₁为圆心以3为半径的圆与以F₂为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C上一动点P（x₀，y₀）（y₀≠0）的直线1：$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{{b}^{2}}$=1，过F₂与x轴垂直的直线记为l₁，右准线记为l₂；
①设直线l与直线l₁相交于点M，直线1与直线l₂相交于点N．证明$\frac{M{F}_{2}}{N{F}_{2}}$恒为定值，并求此定值．
②若连接F₁P并延长与直线l₂相交于点Q．椭圆C的右顶点A，设直线PA的斜率为k₁，直线QA的斜率为k₂，求k₁•k₂的取值范围．

Answer 1

分析 （1）以F₁为圆心以3为半径的圆与以F₂为圆心以1为半径的圆相交，且交点E在椭圆C上．可得|EF₁|+|EF₂|=3+1=2a，解得a．又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，解得c，b²，即可得出．
（2）①直线l₁：x=1，直线l₂：x=4．把x=1代入直线1，解得y，可得M坐标．同理可得N坐标．又${y}_{0}^{2}$=$\frac{3（4-{x}_{0}^{2}）}{4}$．利用两点之间的距离公式可得$\frac{|M{F}_{2}|}{|N{F}_{2}|}$=$\frac{1}{2}$为定值．
②由$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{3}$=1，解得${y}_{0}^{2}$=$3（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{4}）$．直线l₁的方程为：x=1；直线l₂的方程为：x=4．直线PF₁的方程为：y-0=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$（x+1），由于-1＜x₀＜2，可得$\frac{1}{{x}_{0}+1}$∈$（\frac{1}{3}，+∞）$．即可得出k₁k₂，利用函数的性质即可得出．

解答 解：（1）以F₁为圆心以3为半径的圆与以F₂为圆心以1为半径的圆相交，且交点E在椭圆C上．
∴|EF₁|+|EF₂|=3+1=2a，解得a=2．
又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，解得c=1，b²=3．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）①证明：直线l₁：x=1，直线l₂：x=4．
把x=1代入直线1：$\frac{{x}_{0}x}{4}+\frac{{y}_{0}y}{3}$=1，解得y=$\frac{3（4-{x}_{0}）}{4}$，∴M$（1，\frac{3（4-{x}_{0}）}{4{y}_{0}}）$．
把x=4代入直线1方程，解得y=$\frac{3（1-{x}_{0}）}{{y}_{0}}$，∴N$（4，\frac{3（1-{x}_{0}）}{{y}_{0}}）$．
又${y}_{0}^{2}$=$\frac{3（4-{x}_{0}^{2}）}{4}$．
∴$\frac{|M{F}_{2}|}{|N{F}_{2}|}$=$\frac{|\frac{3（4-{x}_{0}）}{4{y}_{0}}|}{\sqrt{{3}^{2}+\frac{9（1-{x}_{0}）^{2}}{{y}_{0}^{2}}}}$=$\frac{1}{2}$为定值．
②解：由$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{3}$=1，解得${y}_{0}^{2}$=$3（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{4}）$．（-2≤x₀＜2），x₀≠-1．
直线l₁的方程为：x=1；直线l₂的方程为：x=4．
直线PF₁的方程为：y-0=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$（x+1），
令x=4，可得y_Q=$\frac{5{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$．
∴Q$（4，\frac{5{y}_{0}}{{x}_{0}+1}）$．
∴k₁=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$，k₂=$\frac{\frac{5{y}_{0}}{{x}_{0}+1}-0}{4-2}$=$\frac{5{y}_{0}}{2（{x}_{0}+1）}$．
∴k₁k₂=$\frac{5{y}_{0}^{2}}{2（{x}_{0}-2）（{x}_{0}+1）}$=$\frac{15（4-{x}_{0}^{2}）}{8（{x}_{0}-2）（{x}_{0}+1）}$=$\frac{-15（{x}_{0}+2）}{8（{x}_{0}+1）}$=$-\frac{15}{8}$$（1+\frac{1}{{x}_{0}+1}）$，
∵-1＜x₀＜2，
∴$\frac{1}{{x}_{0}+1}$∈$（\frac{1}{3}，+∞）$．
∴k₁k₂∈$（-∞，-\frac{5}{2}）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的方程、直线与椭圆相交问题、斜率计算公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．