Question

下列几个命题：
 （1）函数f（x）=xⁿ+a^x-1（n∈Z，a＞0，a≠1）的图象必过点（1，2）；
 （2）f（x）=

x2-4

+

4-x2

是偶函数，但不是奇函数；
 （3）函数y=f（x）值域是[-3，3]，则函数y=f（x-2）值域是[-1，5]；
 （4）设函数y=f（x）定义域为R，则函数y=f（1-x）与y=f（x-1）图象关于y轴对称；
 （5）y=|3-x²|图象与直线y=a有k个公共点，则k的值不可能是1；
 上述五个命题中所有正确的命题序号是

①④⑤

．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=2即可判断（1）正确；
（2）依题意，可求得x=±2，从而可得f（x）=

x2-4

+

4-x2

是偶函数，也是奇函数；
（3）利用函数的性质可知，左右平移不改变其值域，从而可知（3）的正误；
（4）利用1-x+（x-1）=0，即可判断（4）的正误；
（5）在同一直角坐标系中作出曲线y=|3-x²|与直线y=a的图形，分析即可判其正误．

解答：解：（1）∵f（x）=xⁿ+a^x-1（n∈Z，a＞0，a≠1），
∴f（1）=1ⁿ+a^1-1=1+1=2，
故函数的图象必过点（1，2），即（1）正确；
（2）由

x2-4≥0 4-x2≥0

得4≤x²≤4，即x²=4，x=±2，
∵f（2）=f（-2）=0，f（-2）=-f（2）=0，
∴f（x）=

x2-4

+

4-x2

是偶函数，也是奇函数，故（2）错误；
（3）因为函数y=f（x-2）是由函数y=f（x）向右平移2个单位得到的，图象上下没有平移，值域不变，是[-3，3]，故（3）错误；
（4）∵1-x+（x-1）=0，函数y=f（x）定义域为R，
∴函数y=f（1-x）与y=f（x-1）图象关于y轴对称，（4）正确；
（5）∵y=|3-x²|，直线y=a有k个公共点，其图象如下，
由图知，当a＜0时，无公共点；
当a=0或a＞3时有两个公共点；
当0＜a＜3时有四个公共点；
∴y=|3-x²|图象与直线y=a有k个公共点，k的值不可能是1，（5）正确．
综上所述，上述五个命题中所有正确的命题序号是①④⑤．
故答案为：①④⑤．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查的奇偶性与对称性，考查直线与与二次曲线的相交问题，着重考查分析、推理与运算能力，属于中档题．