Question

腾讯公司2005年8月15日推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为a_n（n∈N*），设b_n=a_n+1-a_n．

等级	等级图标	需要天数	等级	等级图标	需要天数
1		5	7		77
2		12	8		96
3		21	12		192
4		32	16		320
5		45	32		1152
6		60	48		2496

（1）求b₁，b₂，b₃，b₄的值，并猜想b_n的表达式（不必证明）；
（2）利用（1）的结论求数列{a_n}的通项公式；
（3）设cn=

1

an-3n

，求证：c₁+c₂+…+c_n＜1．

Answer 1

分析：（1）根据b_n=a_n+1-a_n结合图表中的数据，直接计算，并结合等差数列定义判断是等差数列．
（2）由（1）知a_n+1-a_n=2n+5，此种情形可用叠加法求数列{a_n}的通项公式
（3）由（2）能得出cn=

1

an-3n

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

，用裂项法求出c₁+c₂+…+c_n，再去证明不等式．

解答：解：（1）由表所给出的数据得a₁=5，a₂=12，a₃=21，a₄=32，而b_n=a_n+1-a_n，
于是b₁=7，b₂=9，b₃=11，b₄=13．
猜测{b_n}是以7为首项，公差为2的等差数列．
所以b_n=2n+5，n∈N*
（2）由（1）知a_n+1-a_n=2n+5，
当n≥2时，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…（a₂-a₁）+a₁
=[2×（n-1）+5]+[2×（n-2）+5]+…+（2×1+5）+5
=2×[1+2+…（n-1）]+5n=n²+4n
且当n=1时也符合
∴a_n=n²+4n
（3）cn=

1

an-3n

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

于是c1+c2+…+cn=(

1

1

-

1

2

)+(

1

n

-

1

n+1

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

＜1．

点评：本题考查等差数列定义及判断、叠加法、裂项法求和，需要一定的阅读能力，收集数据、处理数据，计算能力．