Question

4．已知直线l：y=-x+a与圆C：x²+y²=2相交于相异两点M、N，点O是坐标原点，且满足|$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$|＞|$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{ON}$|，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-2，-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，2）
• B． （-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$0
• C． （$\sqrt{2}$，-1）∪（1，$\sqrt{2}$）
• D． （-1，1）

Answer 1

分析 利用条件，两边平方可得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$＞0，所以∠MON＜90°，利用圆心到直线的距离，建立不等式，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：因为|$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$|＞|$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{ON}$|，
所以两边平方可得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$＞0，
所以∠MON＜90°，
因为圆心到直线的距离d=$\frac{|a|}{\sqrt{2}}$
所以$\sqrt{2}$＞$\frac{|a|}{\sqrt{2}}$＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{2}$，
所以-2＜a＜-$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$＜a＜2，
故选：A．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，比较基础．