分析 (1)利用x2=$\frac{1-y}{1+y}$≥0进行求解.
(2)根据一元二次函数和根式函数的性质进行求解.
(3)利用基本不等式进行求解.
(4)利用函数的单调性进行求解.
(5)利用三角换元法进行求解.
解答 解:(1)由y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$得y(1+x2)=1-x2;得(1+y)x2=1-y,
当y=-1时,0=2不成立,即y≠-1,
则x2=$\frac{1-y}{1+y}$≥0,得-1<y≤1,即函数的值域为(-1,1].
(2)y=$\sqrt{-2{x}^{2}+x+3}$=$\sqrt{-2(x-\frac{1}{4})^{2}+\frac{25}{8}}$∈[0,$\frac{5\sqrt{2}}{4}$],即y∈[0,$\frac{5\sqrt{2}}{4}$];
即函数的值域为[0,$\frac{5\sqrt{2}}{4}$];
(3)当x>0时,y=x+$\frac{1}{x}$+1≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+1=2+1=3,当且仅当x=$\frac{1}{x}$,即x=1取等号;
当x<0时,y=x+$\frac{1}{x}$+1=-(-x-$\frac{1}{x}$)+1≤-2$\sqrt{-x•\frac{1}{-x}}$+1=-2+1=-1,当且仅当x=$\frac{1}{x}$,即x=-1取等号;
即y≥3或y≤-1,即函数的值域为(-∞,-1]∪[3,+∞)
(4)由1-2x≥0得x≤$\frac{1}{2}$,即函数的定义域为(-∞,$\frac{1}{2}$],
函数y=x-$\sqrt{1-2x}$在(-∞,$\frac{1}{2}$]上为增函数,∴y≤$\frac{1}{2}$$-\sqrt{1-2×\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}-\sqrt{1-1}=\frac{1}{2}$,
即函数的值域为(-∞,$\frac{1}{2}$].
(5)由4-x2≥0得-2≤x≤2,即函数的定义域为[-2,2],
设x=2cosα,0≤α≤π,则y=x+$\sqrt{4-{x}^{2}}$=2cosα+$\sqrt{4-4cos^2α}$=2cosα+$\sqrt{4sin^2α}$=2cosα+2sinα=2$\sqrt{2}$sin(α+$\frac{π}{4}$),
∵0≤α≤π,
∴$\frac{π}{4}$≤α+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$,
∴sin$\frac{5π}{4}$≤sin(α+$\frac{π}{4}$)≤sin$\frac{π}{2}$,即$-\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin(α+$\frac{π}{4}$)≤1,-2≤2$\sqrt{2}$sin(α+$\frac{π}{4}$)≤2$\sqrt{2}$,
即函数的值域为[-2,2$\sqrt{2}$].
点评 本题主要考查函数值域的求解,涉及几种常见求函数值域的方法.要求根据不同的条件选择合适的方法.
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | -$\frac{2}{3}$ | B. | $\frac{2}{3}$ | C. | $\frac{3}{2}$ | D. | -$\frac{3}{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$x | B. | y=±2x | C. | y=±$\frac{1}{2}$x | D. | y=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x |
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