Question

7．求下列函数的值域：
（1）y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$；
（2）y=$\sqrt{-2{x}^{2}+x+3}$；
（3）y=x+$\frac{1}{x}$+1；
（4）y=x-$\sqrt{1-2x}$；
（5）y=x+$\sqrt{4-{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）利用x²=$\frac{1-y}{1+y}$≥0进行求解．
（2）根据一元二次函数和根式函数的性质进行求解．
（3）利用基本不等式进行求解．
（4）利用函数的单调性进行求解．
（5）利用三角换元法进行求解．

解答 解：（1）由y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$得y（1+x²）=1-x²；得（1+y）x²=1-y，
当y=-1时，0=2不成立，即y≠-1，
则x²=$\frac{1-y}{1+y}$≥0，得-1＜y≤1，即函数的值域为（-1，1]．
（2）y=$\sqrt{-2{x}^{2}+x+3}$=$\sqrt{-2（x-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{25}{8}}$∈[0，$\frac{5\sqrt{2}}{4}$]，即y∈[0，$\frac{5\sqrt{2}}{4}$]；
即函数的值域为[0，$\frac{5\sqrt{2}}{4}$]；
（3）当x＞0时，y=x+$\frac{1}{x}$+1≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+1=2+1=3，当且仅当x=$\frac{1}{x}$，即x=1取等号；
当x＜0时，y=x+$\frac{1}{x}$+1=-（-x-$\frac{1}{x}$）+1≤-2$\sqrt{-x•\frac{1}{-x}}$+1=-2+1=-1，当且仅当x=$\frac{1}{x}$，即x=-1取等号；
即y≥3或y≤-1，即函数的值域为（-∞，-1]∪[3，+∞）
（4）由1-2x≥0得x≤$\frac{1}{2}$，即函数的定义域为（-∞，$\frac{1}{2}$]，
函数y=x-$\sqrt{1-2x}$在（-∞，$\frac{1}{2}$]上为增函数，∴y≤$\frac{1}{2}$$-\sqrt{1-2×\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{2}-\sqrt{1-1}=\frac{1}{2}$，
即函数的值域为（-∞，$\frac{1}{2}$]．
（5）由4-x²≥0得-2≤x≤2，即函数的定义域为[-2，2]，
设x=2cosα，0≤α≤π，则y=x+$\sqrt{4-{x}^{2}}$=2cosα+$\sqrt{4-4cos^2α}$=2cosα+$\sqrt{4sin^2α}$=2cosα+2sinα=2$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
∵0≤α≤π，
∴$\frac{π}{4}$≤α+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$，
∴sin$\frac{5π}{4}$≤sin（α+$\frac{π}{4}$）≤sin$\frac{π}{2}$，即$-\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（α+$\frac{π}{4}$）≤1，-2≤2$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）≤2$\sqrt{2}$，
即函数的值域为[-2，2$\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查函数值域的求解，涉及几种常见求函数值域的方法．要求根据不同的条件选择合适的方法．