Question

10．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$cos（$\frac{π}{4}$-2x），x∈R，求；
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）向右平移φ（0≤φ≤$\frac{π}{2}$）个单位后变为偶函数，求φ的值；
（3）若函数g（x）=f（x）-1在（0，a）有两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的单调性即可得到结论．
（2）利用三角函数的平移关系结合三角函数的奇偶性的性质进行求解．
（3）利用换元法结合数形结合进行求解．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{2}$cos（$\frac{π}{4}$-2x）=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{4}$）
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
得kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，k∈Z，
即函数的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]，k∈Z．
（2）若函数f（x）向右平移φ（0≤φ≤$\frac{π}{2}$）个单位后，得到y=$\sqrt{2}$cos[2（x-φ）-$\frac{π}{4}$]=$\sqrt{2}$cos[2x-（2φ+$\frac{π}{4}$）]，
若函数变为偶函数，则2φ+$\frac{π}{4}$=kπ，则φ=$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{8}$，
∵0≤φ≤$\frac{π}{2}$，∴当k=1时，φ=$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{8}$=$\frac{3π}{8}$．
（3）若g（x）=f（x）-1在（0，a）有两个零点，
则等价为g（x）=f（x）-1=0，即f（x）=1在（0，a）有两个根，
即$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{π}{4}$）=1，则cos（2x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$在（0，a）有两个根，
∵0＜x＜a，
∴0＜2x＜2a，
-$\frac{π}{4}$＜2x-$\frac{π}{4}$＜2a-$\frac{π}{4}$，
设t=2x-$\frac{π}{4}$，则-$\frac{π}{4}$＜t＜2a-$\frac{π}{4}$，
当t=-$\frac{π}{4}$时，cost=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当t=$\frac{π}{4}$时，cost=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当t=-$\frac{π}{4}$+2π=$\frac{7π}{4}$时，cost=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当t=$\frac{π}{4}$+2π=$\frac{9π}{4}$时，cost=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
要使函数g（x）=f（x）-1在（0，a）有两个零点，
则$\frac{7π}{4}$＜2a-$\frac{π}{4}$≤$\frac{9π}{4}$，
即π＜a≤$\frac{5π}{4}$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用换元法以及数形结合是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．