分析 (1)设EC与DF交于点N,连结MN,则MN∥AC,由此能证明AC∥平面MDF.
(2)以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面EAD与EBC所成锐二面角的大小.
解答 证明:(1)设EC与DF交于点N,连结MN,
在矩形CDEF中,点N为EC中点,因为M为EA中点,所以MN∥AC,
又因为AC?平面MDF,MN?平面MDF,
所以AC∥平面MDF.-----(4分)
解:(2)因为平面CDEF⊥平面ABCD,平面CDEF∩平面ABCD=CD,
DE?平面CDEF,DE⊥CD,
所以DE⊥平面ABCD,------(6分)
以D为坐标原点,建立如图空间直角坐标系,
设DA=a,DE=b,B(a,a,0),E(0,0,b),C(0,2a,0),F(0,2a,b),
$\overrightarrow{BE}=(-a,-a,b),\overrightarrow{DF}=(0,2a,b),\overrightarrow{BC}=(-a,a,0)$,
因为BE⊥DF,
所以$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{DF}═(-a,-a,b)•(0,2a,b)={b^2}-2{a^2}=0$,$b=\sqrt{2}a$,--(8分)
设平面EBC的法向量$\overrightarrow m=(x,y,z)$,
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{BE}=-ax-ay+\sqrt{2}az=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{BC}=-ax+ay\end{array}\right.$,取a=1,得$\overrightarrow m=(1,1,\sqrt{2})$,
平面EAD的法向量$\overrightarrow n=(0,1,0)$,--(10分)
而$cos<\overrightarrow m,\overrightarrow n>=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{|\overrightarrow m|•|\overrightarrow n|}=\frac{1}{2}$,
所以,平面EAD与EBC所成锐二面角的大小为60°.(12分)
点评 本题考查线面垂直的证明,考查二面角的大小的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | [1,4] | B. | [1,2] | C. | [$\frac{1}{2}$,2] | D. | [0,+∞) |
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 8 | B. | 8$\sqrt{2}$ | C. | 4+4$\sqrt{2}$ | D. | 8+8$\sqrt{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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