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17.求适合下列条件的双曲线的标准方程及其离心率.
(1)焦点在x轴上,c=6,且过点A(-5,2);
(2)a=12,b=5;
(3)经过两点A(-7,-6$\sqrt{2}$),B($\sqrt{7}$,-3).

分析 (1)设所求双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1,a>0,b>0,由题意得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=36}\\{\frac{25}{{a}^{2}}-\frac{4}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$,由此能求出双曲线的标准方程及其离心率.
(2)分类讨论,即可求出双曲线的标准方程及其离心率;
(3)利用待定系数法,可得结论.

解答 解:(1)由题意,设所求双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1,a>0,b>0,
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=36}\\{\frac{25}{{a}^{2}}-\frac{4}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$,
解得a2=20,b2=16,
∴所求的双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{20}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1,e=$\frac{c}{a}$=$\frac{6}{2\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$.
(2)焦点在x轴上,双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{144}-\frac{{y}^{2}}{25}=1$,e=$\frac{13}{12}$;
焦点在y轴上,双曲线的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{144}-\frac{{x}^{2}}{25}=1$,e=$\frac{13}{12}$;
(3)设双曲线的方程为nx2-my2=1,m>0,n>0,
把两点A(-7,-6$\sqrt{2}$),B($\sqrt{7}$,-3)代入,得:$\left\{\begin{array}{l}{49n-72m=1}\\{7n-9m=1}\end{array}\right.$,
解得n=1,m=$\frac{2}{3}$,
∴所求的双曲线方程为x2-$\frac{{y}^{2}}{\frac{3}{2}}$=1,e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$.

点评 本题考查双曲线的标准方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意双曲线性质、待定系数法的合理运用.

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