Question

6．在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，$C=\frac{π}{3}$，a+b=1，则△ABC周长的最小值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{5}{4}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 由a+b及cosC的值，利用余弦定理表示出一个关系式，配方后利用基本不等式即可求出c的最小值，进而得到a+b+c的最小值．

解答 解：由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，
又a+b=1，cosC=$\frac{1}{2}$，
所以c²=（a+b）²-3ab≥（a+b）²-3（$\frac{a+b}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，当且仅当b=a时取等号，
所以c的最小值为$\frac{1}{2}$，则a+b+c的最小值为$\frac{3}{2}$．
故选：C．

点评 此题考查学生灵活运用余弦定理及完全平方公式化简求值，会利用基本不等式求函数的最小值，是一道基础题．本题注意利用不等式（ $\frac{a+b}{2}$）²≥ab来进行解答．