Question

矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（-2，1），B（2，1），C（2，-1），D（-2，-1），过原点且互相垂直的两条直线分别与矩形的边相交于E、F、G、H四点，则四边形EGFH的面积的最小值为

 

，最大值为

 

．

Answer 1

分析：求出举行的各个顶点的坐标，利用两点间的距离公式求出长和宽，计算举行的面积，S=2（k+

1

k

），利用函数
S=2（k+

1

k

） 在[

1

2

，1]上是减函数，在[1，2]上是增函数，故k=1时，S有最小值，最大值是k=

1

2

时的S值，
或当 k=2时的S值，计算可得答案．

解答：解：设过原点且互相垂直的两条直线分别为  y=kx，和 y=-

1

k

x，（不妨设k＞0）由题意得，
则 E （

1

k

，1），F （-

1

k

，-1），G（-k，1），H（k，-1），
由两点间的距离公式得 EF=

( 2 k )2+22

=2

1+ 1 k2

，GH=

(2K)2+4

=2

1+k2

，
四边形EGFH的面积为 S=

1

2

•EF•GH=2

2+k2+ 1 k2

=2

(k+ 1 k )2

=2|k+

1

k

|=2（k+

1

k

）．
根据E、G 两点都在线段AB上，可得-2≤

1

k

≤2，且-2≤-k≤2，∴

1

2

≤k≤2．
又函数 S=2（k+

1

k

） 在[

1

2

，1]上是减函数，在[1，2]上是增函数，故 k=1时，S有最小值为4．
当 k=

1

2

时，S=5；   当 k=2时，S=5．  当 k=0时，S=4．
综上，S的最小值等于4，最大值等于 5，
故答案为 4，5．

点评：本题考查函数的单调性及函数的最值，两直线垂直的性质，体现了数形结合的数学思想，其中，确定一直线的斜率
k的范围是解题的关键和难点．