Question

在平面直角坐标系中，定义点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）之间的“理想距离”为：d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|；若C（x，y）到点A（2，3）、B（8，8）的“理想距离”相等，其中实数x、y满足0≤x≤8、0≤y≤8，则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和是（　　）

• A．3+5

  2

• B．

  15

  2

• C．10
• D．5

Answer 1

分析：利用新定义对x、y分类讨论即可得出．

解答：解：∵d（C，A）=|x-2|+|y-3|，d（C，B）=|x-8|+|y-8|，d（C，A）=d（C，B），
∴|x-2|+|y-3|=|x-8|+|y-8|，（*）
∵实数x、y满足0≤x≤8、0≤y≤8，则可以分以下4种情况：
①当0≤x＜2，0≤y≤3时，（*）化为2-x+3-y=8-x+8-y，即11=0，矛盾，此种情况不可能；
②当0≤x＜2，3＜y≤8时，（*）化为2-x+y-3=8-x+8-y，得到y=

17

2

＞8，此时矛盾，此种情况不可能；
③当2≤x≤8，0≤y≤3时，（*）化为x-2+3-y=8-x+8-y，得到x=

15

2

，此时满足条件的点C（x，y）的轨迹的长度为3；
④当2≤x≤8，3＜y≤8时，（*）化为x-2+y-3=8-x+8-y，得到x+y=10.5，令y=8，得x=2.5，点（2.5，8）；
令y=3，得x=7.5，点（7.5，3）．
此时满足条件的点C（x，y）的轨迹的长度=

(7.5-2.5)2+(3-8)2

=5

2

．
综上可知：所有满足条件的点C的轨迹的长度之和是3+5

2

．
故选A．

点评：正确理解新定义、分类讨论的思想方法是解题的关键．