Question

20．已知函数f（x）=4msinx-cos2x（x∈R）
（1）若m=0，求f（x）的单调递增区间．
（2）若f（x）≥-3恒成立，求m的范围．

Answer 1

分析 （1）若m=0，则f（x）=-cos2x，再根据余弦函数的减区间求得函数f（x）的增区间．
（2）利用同角三角函数的基本关系化简函数的解析式为f（x）=2（sinx+m）²-（2m²+1），令t=sinx，t∈[-1，1]则f（x）=g（t）=2（t+m）²-（2m²+1），再利用二次函数的性质分类讨论求得g（t）的最小值，再根据此最小值大于或等于-3，求得m的范围．

解答 解：（1）若m=0，则f（x）=-cos2x，令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+$\frac{π}{2}$，
可得函数f（x）的增区间为[kπ，kπ+$\frac{π}{2}$]，k∈Z．
（2）f（x）=4msinx-cos2x=4msinx-（1-2sin²x）=2（sinx+m）²-（2m²+1），
令t=sinx，t∈[-1，1]则f（x）=g（t）=2（t+m）²-（2m²+1）．
当-m∈（-1，1）时，g（t）的最小值为-（2m²+1），再由-（2m²+1）≥-3，求得-1＜m＜1．
当-m≤-1时，g（t）的最小值为g（-1）=1-4m，再由1-4m≥-3，求得m=1．
当-m≥1时，g（t）的最小值为g（1）=1+4m，再由1+4m≥-3，求得m=-1．
综上可得：-1≤m≤1．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二次函数的性质应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．